Một cách đặt ẩn phụ để chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 1:Cho thoả mãn .Chứng minh rằng:
(1)
Lời giải :Đặt
Từ giả thiết suy ra
Do đó:

Đặt
Khi đó và
Ta có (1):
Đến đây,ta sử dụng Bất đẳng thức :
để suy ra

Từ đó cộng theo vế của ba BĐT trên ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

Bài toán 2:Cho x,y,z>0 thoả mãn
Chứng minh rằng:(2)
Lời giảiTừ giả thiết suy ra

Theo lập luận của bài toán 1 thì tồn tại các số thực dương a,b,c thoả mãn và
Khi đó (2):

Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dương ta có :
;

Suy ra,ta có đpcm.
Đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi
Bài toán 3.Cho thoả mãn.
Chứng minh rằng
(3)
Lời giải.Từ giả thiết suy ra:

Theo lập luận của bài toán 1 thì tồn tại ácc số thực dương a,b,c thoả mãnvà
Ta có (4)